Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（      ）

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

（1）由=，及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得＝，由AB≠AP得≠，故A不正确．
（2）连接OR，易得=，=2， 得到≠ ，故B不正确．
（3）由△OBP∽△OQB得＝，即＝，由AQ≠OP得≠，故C不正确．
（4）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到=，也就有=，可得△OAQ∽OPA，从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO，从而有∠CAP=∠OAQ，则有∠CAQ=∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得，所以D正确．

【解析】
（1）连接OR,如图1，

∵＝，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴＝，

∵AB≠AP，
∴≠，故A不正确．

（2）如图1所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ=AC．
∵OR=AB．
∴=，=2．
∴≠．
∴≠ ，故B不正确．

（3）连接AQ，如图2，

∵△OBP∽△OQB，
∴＝，

∴＝．
∵AQ≠OP，
∴≠，故C不正确．

（4）如图2，
∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴=，
∵OA=OB，
∴=，
又∵∠AOQ=∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴．
故D正确．

故选：D．