Question

二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y₁），Q（，y₂）是函数图象上的两点，则y₁＞y₂；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣或﹣．其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）

Answer

①③④

【解析】试题解析：①∵

∴抛物线开口向下，

∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1，

∴当时，，

即

故①正确；

②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1，

∴抛物线的对称轴是：

由对称性得：与是对称点，

∴则

故②不正确；

③∵

∴

当x=1时，y=0，即

，故③正确；

④要使为等腰三角形，则必须保证或 或

当时，

∵ 为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴

与联立组成解方程组，解得

同理当时，

∵为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴

与联立组成解方程组，解得

同理当时，

在中，

在中，

∵

∴，此方程无实数解．

经解方程组可知有两个b值满足条件．

故④正确．

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．