Question

如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，，则CQ的最大值是____________.

Answer

．

【解析】

根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．

【解析】
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=•PC=PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．

故答案为：．