Question

阅读下面材料：

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角中，、、的对边分别是a、b、c，过A作于D（如图），则，，即，，于是，即.同理有：，，所以.

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.

（1）如图，中，，，，则；

（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB.

（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值.（结果保留根号）

Answer

（1）20；（2）15海里；（3）.

【解析】

（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.

（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；
（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．

【解析】
（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°，

∵ =，

∴ =，

即 =，

解得：AB=20.

（2）如图，

依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，= 即= ，
解之得：AB=15．

答：货轮距灯塔的距离AB=15海里．
（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.

在直角三角形ABM中，∠A=45°，AB=15，
所以AM=15，在直角三角形BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，

所以AC=15+15，

由题意得， ＝，sin75°= ．