Question

如图，在⊙O的内接三角形ABC中，，，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

（1）求证：；

（2）若, ,求PD的长.

Answer

(1)证明见解析；（2）．

【解析】

（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中由圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．
（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．

【解析】
（1）∵四边形APCB内接于圆O，
∴∠FPC=∠B．
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE，∠ACE=∠APD，
∴∠APD=∠FPC，∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC，即∠APC=∠FPD，
又∵∠PAC=∠PDC，
∴△PAC∽△PDF；
（2）如图1，连接PO，

则由 ,，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2，
∵AB=5，
∴BC= ，
∴AC=2，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•=2•=2，
  AE=AC•cos∠BAC=AC•=2•=4，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO为等腰直角三角形，AO=•AB=，
∴AP=．
∵△PDF∽△PAC，
∴=，
∴=，
∴PD=．