Question

如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止. 当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer

（1）；（2）或；（3）F.

【解析】

试题（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式.

∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=

（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可.

（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可.

试题解析：（1）∵抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，

∴A（-2，0），B（4，0）.

∵点B在直线上，∴，即.

∴直线的解析式为.

∵点D在直线上，且横坐标为-5，∴纵坐标为.

∵点D在抛物线上，∴，解得.

∴抛物线的函数表达式为.

（2）易得，点C的坐标为，则.

设点P的坐标为，

分两种情况：

①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，.

∴由∠PAB=∠ABC 得，即.

∴，解得.

此时点P的坐标为，，

∴由得，解得.

②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，.

∴由∠PAB=∠BAC 得，即.

∴，解得.

此时点P的坐标为，，

∴由得，解得.

（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求.

∵直线BD的解析式为，∴∠FBA=∠FGD=30°.

∵AB=6，∴AF=.

∴点F的坐标为.