Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函数y＝x²+bx﹣2的图象经过C点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；

(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝x2-x﹣2；(2)直线l与x轴的交点坐标为(1，0)或(3﹣，0)；(3)点P的坐标为：(﹣，)或(﹣1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

（1）过点C作CD⊥x轴于点D，根据△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入抛物线即可.

（2）先求出S△ABC，求出直线BC的解析式为，同理求得直线AC、AB的解析式，设直线l与x轴交点坐标为（x，0），设直线l与BC、AC分别交于点F、E，根据，得出，求出x即可，设直线l与BC、AB分别交于点F、E，根据，得出 求出x即可.

（3）延长CB交抛物线于点P3，过点B′作B′P1⊥BC，交抛物线于点P1、P2，设直线B′P1的解析式为：，过点B′作B′M⊥x轴于点M，根据△AOB≌△AMB′求出B′的坐标，得出直线B′P1的解析式为：，再根据得出P1、P2的坐标，根据 得出P3的坐标．

【解析】
（1）如图1所示，

过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，

∵∠BOA=∠ADC=90°，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA（AAS）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线，

∴解得：b=，

∴抛物线的解析式为：.

（2）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，

∴.

设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），

∴ ，

解得k=，b=2，
∴.

同理求得直线AC的解析式为：，

直线AB的解析式为：y=-2x+2，
设直线l与x轴交点坐标为（x，0）
如图2：设直线l与BC、AC分别交于点F、E，则EF=.

△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：，

即：，

∴，

解得x1=，x2=（不合题意，舍去），

如图3：

设直线l与BC、AB分别交于点F、E，

则EF=

△BEF中，EF边上的高h=x．
由题意得：.

即：.

解得x1=1，x2=-1（不合题意，舍去）
当直线l与x轴交点坐标为（1，0）或（，0）时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分，
（3）存在．
如图4，

延长CB交抛物线于点P3，过点B′作B′P1⊥BC，交抛物线于点P1、P2，

则CB∥B′P1，
设直线B′P1的解析式为：，

过点B′作B′M⊥x轴于点M，
在△AOB和△AMB′中，

，

∴△AOB≌△AMB′（AAS），

∴B′M=BO=2，
AM=AO=1，

∴B′的坐标为（2，-2），

∴，

∴b=，

∴直线B′P1的解析式为：y=

由 得 或 ，

∴P1的坐标是（-1，-1），P2的坐标是 ，

∵∠ACB=∠ACB′=45°，
∴∠B′CP3=90°，

由 得： （舍去），或 ，

∴P3的坐标是 ，

∴P点坐标是P1（-1，-1），P2，P3.