Question

如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）20cm2．

【解析】

(1)先证明△BOE≌△DOF,得出EO＝FO，且OB＝OD,再根据EF垂直平分BD,可得出四边形BEDF为菱形;

(2) 由菱形的性质知BE＝DE，在Rt△ADE中，根据DE2＝AE2+DA2列式求解即可.

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，且OB＝OD

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF垂直平分BD

∴BE＝DE

∴四边形BEDF是菱形

（2）∵四边形BEDF是菱形

∴BE＝DE，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，

∴BE2＝（8﹣BE）2+16，

∴BE＝5

∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2．