Question

如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F．

（1）求证：D是AC的中点；

（2）若AB＝12，sin∠CAE＝，求CF的值．

Answer

(1)证明见解析；(2)CF=.

【解析】

（1）连接BD，由圆周角定理知DB⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得D是AC的中点．
（2）根据切线的性质得到∠ABF=90°，根据同弧所对的圆周角相等，得到∠CAE＝∠CBD，又∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，则sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，则

即可求出的长度，即可求解.

(1)证明：连接DB，

∴AB是⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC．

又∵AB＝BC．

∴D是AC的中点．

(2)【解析】
∵BF与⊙O相切于点B，

∴∠ABF＝90°，

∵∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，

∴sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，

∴在△ADB和△ABF中，

∵AB＝12，

∴

∴CF＝AF﹣AC＝-=.