Question

如图，过半径为2的⊙O外一点P，作⊙O的切线PA，切点为A，连接PO，交⊙O于点C，过点A作⊙O的弦AB，使AB∥PO，连接PB、BC．

（1）当点C是PO的中点时，

①求证：四边形PABC是平行四边形；

②求△PAB的面积．

（2）当AB＝2时，请直接写出PC的长度．

Answer

（1）①见解析；②S△PAB＝;（2）2﹣2．

【解析】

（1）①连接OA、OB， 由切线的性质可得OA⊥PA，根据已知条件易得OA＝PO，在Rt△OAP中，求得∠POA＝60°，根据平行线的性质可得∠BAO＝∠POA＝60°，即可得△OAB是等边三角形，所以AB＝OA，即AB＝PC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形PABC是平行四边形；②过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据等边三角形的性质及锐角三角函数求得OA＝2，OE＝，即可求得S△OAB＝AB•OE＝，根据同底等高的两个三角形的面积相等即可得S△PAB＝S△OAB＝；

（2）结合已知条件，根据勾股定理逆定理可得△OAB是直角三角形，根据两组对边分别平行的四边形是平行的四边形可得四边形PABO是平行四边形，由平行四边形的性质可得PO＝AB，即可得PC＝2﹣2．

（1）①证明：连接OA、OB，则有OA＝OB＝OC，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

∵点C是PO的中点，

∴PC＝OC＝PO，

∴OA＝PO，

∴在Rt△OAP中，sin∠APO＝＝，

∴∠APO＝30°，

∴∠POA＝60°，

∵AB∥PO，

∴∠BAO＝∠POA＝60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴AB＝OA，

∴AB＝PC，

∴四边形PABC是平行四边形；

②【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为E，

∵△OAB是等边三角形，

∴OA＝AB＝2，

∴OE＝OA•sin60°＝2×＝，

∴S△OAB＝AB•OE＝×2×＝，

∵AB∥PO，

∴S△PAB＝S△OAB＝；

（2）PC＝2﹣2，理由为：

∵OA＝OB＝2，AB＝2，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴根据勾股定理逆定理可得，△OAB是直角三角形，即∠AOB＝90°，

∴OB∥PA，

∴四边形PABO是平行四边形，

∴PO＝AB，

∴PC＝2﹣2．