Question

点M为二次函数y＝﹣x²+2bx+1+4b﹣b²图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．

（2）若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣x²+2bx+2+4b﹣b²，借助图象，求出x的取值范围．

（3）点A坐标为（5，0），点M在△AOB内时，若点C（，y₁），D（，y₂）都在二次函数图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer

（1）点M在直线y＝4x+1上．（2）x的取值范围是x＜0或x＞5．（3）①当0＜b＜时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜y2．

【解析】

（1）根据顶点式，可求顶点M的坐标，用设元消参的方法求解析式即可；

（2）根据待定系数法，可求得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系，图象在下方的函数值小，即可得到答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．

（1）y＝﹣x2+2bx+1+4b﹣b2＝﹣（x﹣b）2+4b+1，

∵M为二次函数的顶点，

∴M（b，4b+1），

设x＝b，y＝4b+1，

则y＝4x+1，

∴点M在直线y＝4x+1上．

（2）如图1所示，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B（0，5），

又∵点B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0），

由图象得当mx+5＞﹣x2+2bx+1+4b﹣b2时，x的取值范围是x＜0或x＞5．

（3）如图2所示，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，

A（5，0），B（0，5），

可得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

则有，

解得，

∴E（，），

∵点M在△AOB内，

∴1＜4b+1＜，

∴0＜b＜．

当点C、D关于抛物线的对称轴对称时，

b﹣＝﹣b，解得b＝，

∵二次函数的开口方向向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，

②当b＝时，y1＝y2，

③当＜b＜时，y1＜y2．