Question

我们知道，一元二次方程x²＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i²＝﹣1（即x²＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i¹＝i，i²＝﹣1，i³＝i²•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i⁴＝（i²）²＝（﹣1）²＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹＝i⁴ⁿ•i＝（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²＝﹣1，i⁴ⁿ⁺³＝﹣i，i⁴ⁿ＝1，那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁸+i²⁰¹⁹的值为（　　）

A. 0 B. ﹣1 C. i D. 1

Answer

B

【解析】

利用积的乘方得到原式＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3，然后利用利用i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1进行计算．

【解析】
i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3＝（i﹣1﹣i+1）+…+i2012（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．

故选：B．