Question

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M，N分别从点D，B同时出发，都以1cm/s的速度运动．点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点O，连接MP．已知动点运动了ts（0＜t＜3）．

（1）当t为多少时，PM∥AB？

（2）若四边形CDMP的面积为S，试求S与t的函数关系式．

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP面积与四边形ABCD面积比为3：8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）在点M，N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，试说明理由．

Answer

（1）当t=时，PM∥AB；（2）s＝t2﹣2t+6；（3）t＝时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；（4）当t＝1或t＝或t＝时，△MPA是等腰三角形．

【解析】

（1）根据已知条件得到PM与PN共直线，求得MN∥AB，列方程即可得到结论；

（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得即根据S四边形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；

（3）由解方程可得；

（4）本题要分三种情况：①MP＝PA，那么AQ＝BN＝AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA＝PA，不难得出AP＝BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．

【解析】
（1）∵PM∥AB，AB∥PN，

∴PM与PN共直线，

∴MN∥AB，

∴AM＝NB，

∴3﹣t＝t，

得

（2）如图，延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，

由题意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，

∵PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴即

解得：

∵PQ⊥AD，

∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，

∴四边形ABNQ是矩形，

则AB＝QN＝4，

∴

∴四边形CDMP的面积

（3）∵S矩形ABCD＝3×4＝12，

∴

解得：

所以时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；

（4）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA，

∴四边形ABNQ是矩形，

∴QA＝NB＝t，

∴MQ＝QA＝t，

又∵DM+MQ+QA＝AD

∴3t＝3，即t＝1

②若MP＝MA，则MQ＝3﹣2t， MP＝MA＝3﹣t，

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2

∴

解得：t＝（t＝0不合题意，舍去）

③若AP＝AM，

由题意可得：AP＝t，AM＝3﹣t

∴

解得：t＝，

综上所述，当t＝1或t＝或t＝时，△MPA是等腰三角形．