Question

如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则EG²+FH²的值为_____．

Answer

64

【解析】

连接HE、EF、FG、GH，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG是菱形，根据菱形的性质、勾股定理计算即可．

【解析】
连接HE、EF、FG、GH，

∵E、F分别是边AB、BC的中点，

∴EF＝AC＝4，EF∥AC，

同理可得，HG＝AC＝4，HG∥AC，EH＝BD＝4，

∴HG＝EF，HG∥EF，

∴四边形HEFG为平行四边形，

∵AC＝BD，

∴EH＝EF，

∴平行四边形HEFG是菱形，

∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，

∴OE2+OH2＝EH2＝16

∴EG2+FH2＝(2OE)2+(2OH)2＝4(OE2+OH2)＝64，

故答案为：64．