Question

如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．

(1)连接AD，则∠OAD＝　   　°；

(2)求证：DE与⊙O相切；

(3)点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．

Answer

(1)60；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM＝60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD＝60°．

（2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切．

（3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND＝90°，∠CFN＝60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．

【解析】
(1)如图1，连接OD，AD

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB

∴AB垂直平分CD

∵M是OA的中点，

∴OM＝OA＝OD

∴cos∠DOM＝＝，

∴∠DOM＝60°

又：OA＝OD

∴△OAD是等边三角形

∴∠OAD＝60°

故答案为：60°

(2)∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴CM＝MD．

∵M是OA的中点，

∴AM＝MO．

又∵∠AMC＝∠DMO，

∴△AMC≌△OMD．

∴∠ACM＝∠ODM．

∴CA∥OD．

∵DE⊥CA，

∴∠E＝90°．

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°．

∴DE⊥OD．

∴DE与⊙O相切．

(3)如图2，连接CF，CN，

∵OA⊥CD于M，

∴M是CD中点．

∴NC＝ND．

∵∠CDF＝45°，

∴∠NCD＝∠NDC＝45°．

∴∠CND＝90°．

∴∠CNF＝90°．

由(1)可知∠AOD＝60°．

∴∠ACD=∠AOD=30°．

在Rt△CDE中，∠E＝90°，∠ECD＝30°，DE＝3，

∴CD=，

在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠CDN＝45°，CD＝6，

∴CN=CD·sin45°=3．

由(1)知∠CAD＝2∠OAD＝120°，

∴∠CFD＝180°﹣∠CAD＝60°．

在Rt△CNF中，∠CNF＝90°，∠CFN＝60°，CN=3，

∴FN=．