Question

如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

(1)将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段　   　，　   　；S_矩形AEFG：S_▱ABCD＝　   　．

(2)▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长；

(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．

Answer

AE GF 1：2

【解析】

（1）由图可直接得到第一、二空答案，根据折叠的性质可得△AEH与△ABE面积相等、梯形HFGA与梯形FCDG面积相等，据此不难得到第三空答案；

（2）对图形进行点标注，如图所示：首先根据勾股定理求得FH的长，再根据折叠的性质以及请到的知识可得AH=FN，HD=HN，然后根据线段和差关系即可得到AD的长；

（3）根据题目信息，动手这一下，然后将结合画出来，再结合折叠的性质以及勾股定理的知识分析解答即可.

（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；

由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，

∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，

∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD，

∴S矩形AEFG：S平行四边形ABCD=1：2；

故答案为：AE，GF，1：2；

（2）∵四边形EFGH是矩形，

∴∠HEF=90°，

∴FH==13，

由折叠的性质得：AD=FH=13；

由折叠的对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN.

易得△AEH≌CGF，

所以CF=AH，

所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：

①折法1中，如图4所示：

由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，

∵四边形EFMB是叠合正方形，

∴BM=FM=4，

∴GM=CM==3，

∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；

②折法2中，如图5所示：

由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，

∴GH=CD=5，

∵四边形EMHG是叠合正方形，

∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，

∵∠B=90°，

∴FM=BM==3，

设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，

∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，

∴AD+BC=，

∴BC=-x，

∴MC=BC-BM=-x-3，

∵MN=MC，

∴3+x=-x-3，

解得：x=，

∴AD=，BC=-=；

③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，

则E、G分别为AB、CD的中点，

则AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=4，

GM=FM=4，CM==3，

∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，

∴AD=5．