Question

已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b满足

(1)求a和b的值；

(2)若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？

(3)若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)a=-8，b=22；(2)t=2或t=4；(3) 7或.

【解析】

（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；

（2）根据点P运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）分三种情况：①0＜x≤；②＜x≤；③＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．

【解析】
(1)a=-8，b=22；

(2)5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；

(3) 存在

理由：设运动的时间为x秒，

点C对应的数为7，

点P对应的数为−8＋5x，

点M对应的数为 7＋3x，

点N对应的数为 22−4x，

则PM＝|（−8＋5x）−（7＋3x）|＝|−15＋2x|，PN＝|（−8＋5x）−（22−4x）|＝|−30＋9x|．

由PM＋PN＝12得|−15＋2x|＋|−30＋9x|＝12．

①当0＜x≤时，15−2x＋30−9x=12，解得：x=3，

此时P对应的数为-8+5x=7；

②当＜x≤时，15−2x-30+9x=12，解得：x=且＜≤，

此时P对应的数为-8+5x=；

③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x=且＜，舍去；

综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，

此时点P对应的数为 7或.