Question

如图，抛物线y=ax²﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；

（3）试求出AM+AN的最小值．

Answer

（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；

（2）利用勾股定理计算出BC=5，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即；当时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即，然后分别求出m的值即可得到M点的坐标；

（3）连接DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三边的关系得到DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），然后计算出AD即可．

（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OB=OA=3，

∴B（3，0），

∵BD⊥x轴交抛物线于点D，

∴D点的横坐标为3，

当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，

∴D点坐标为（3，5）；

（2）在Rt△OBC中，BC==5，

设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，

∵∠MCN=∠OCB，

∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，

即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；

当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，

即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；

综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；

（3）连接DN，AD，如图，

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OC平分∠ACB，

∴∠ACO=∠BCO，

∵BD∥OC，

∴∠BCO=∠DBC，

∵DB=BC=AC=5，CM=BN，

∴△ACM≌△DBN，

∴AM=DN，

∴AM+AN=DN+AN，

而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），

∴DN+AN的最小值=，

∴AM+AN的最小值为．