Question

问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　   　；

探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

Answer

（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.

【解析】

（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC

（2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；

（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可.

【解析】
(1)BC＝DC＋EC．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．

(2)BD2＋CD2＝2AD2.

证明如下：

连接CE，如解图1所示．

∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°.

∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.

∵∠EAD＝90°，AE＝AD，

∴ED＝AD．

在Rt△ECD中，由勾股定理，

得ED2＝CE2＋CD2，

∴BD2＋CD2＝2AD2.

(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，

如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△EAD是等腰直角三角形，

∴DE＝AD，∠AED＝45°.

∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC．

同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，

∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.

在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，

∴2AD2＝BD2－CD2.

∵BD＝9，CD＝3，

∴2AD2＝92－32＝72，

∴AD＝6(负值已舍去)．