Question

如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．

（2）由△ABC∽△CBG，得求出BC，再由△BFC∽△BCD，得=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．

（1）连接CD，

∵BD是直径，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切线．

（2）∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴，即=BG•BA=48，

∴BC=，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴=BF•BD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF==，

∴CG=CF+FG=，

在RT△BFG中，BG==，

∵BG•BA=48，

∴BA=，即AG=，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，

∵△ABC∽△CBG，

∴，

∴AC==，

∴AH=AC﹣CH=．