Question

如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为。

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴，解得。

∴直线AC的解析式为。

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，）。

研三理-孟奕含(713000529);∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，

∴点P的坐标为（m，）。

∴PM=PE－ME=（）－（）=。

∴PM=（0＜m＜3）。

（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似。理由如下：

由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=。

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF。

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°。

∴△PCM为直角三角形。

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=1。

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。

∴△PCM为等腰三角形。

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形。

【解析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长。

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状。