Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x²﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x₁，m），Q（x₂，m）（x₁＜x₂）是此抛物线上的两点．

（1）若a＝1．

①当m＝b时，求x₁，x₂的值；

②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；

（2）若存在实数c，使得x₁≤c﹣1，且x₂≥c+7成立，则m的取值范围是_______．

Answer

（1）①x1＝0，x2＝2；②将原抛物线向下平移4个单位；（2）m≥16．

【解析】

由抛物线顶点在x轴上，即可得出b＝a2．

（1）当a＝1时，b＝1，由此可得出抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①由m＝b＝1，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x1、x2的值；②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线与x轴的两个交点的距离为4，可得出（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，将其代入y＝（x﹣1）2+k即可求出结论；

（2）解x2﹣2ax+a2＝m可得出PQ＝2，由x1、x2的范围可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围．

∵抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，∴，∴b＝a2．

（1）∵a＝1，∴b＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．

①∵m＝b＝1，∴x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．

②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．

∵抛物线的对称轴是x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位．

（2）∵x2﹣2ax+a2＝m，解得：x1＝a，x2＝a，∴PQ＝2．

又∵x1≤c﹣1，x2≥c+7，∴2（c+7）﹣（c﹣1），∴m≥16．