Question

如图, ,且,直线经过点.设，于点,将射线绕点按逆时针方向旋转,与直线交于点.

(1)当时,        ；

(2)求证: ；

(3)若的外心在其内部,直接写出的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC=180°，而∠ADC+∠EDC=180°，即可求解；

（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；

（3）当∠ABC=α=90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC=α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．

【解析】
（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC=360°-∠BAD-∠DCB=180°，

而∠ADC+∠EDC=180°，

∴∠ABC=∠PDC=α=125°，

故答案为125；

（2）如图，

∵，又绕点逆时针旋转得到射线，

∴，又，

即，

在四边形中，

∵

∴

又∵

∴

在和中，

，

∴

∴

（3）当∠ABC=α=90°时，△ABC的外心在其直角边上，

∠ABC=α＞90°时，△ABC的外心在其外部，

而45°＜α＜135°，

故：45°＜α＜90°．