Question

跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4,离地面的高度为1,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.

(1)当身高为15的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;

(2)若身高为的小丽也站在绳子的正下方.

①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；

②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求的取值范围.(参考数据: 取3.16)

Answer

（1）；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②.

【解析】

（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；

（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；②由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．

（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为

∵，

∴抛物线经过点和点

∴，解得

∴绳子对应的抛物线表达式为

（2）①绳子能碰到小丽的头

理由如下：

∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5处，

∴小丽所在位置与原点距离为，

∴当时，

∵

∴绳子能碰到小丽的头.

②∵1.65-1=0.65，∴当时，

即，解得：

∵取3.16

∴，，

∴，，

∴.