Question

如图1,点和矩形的边都在直线上,以点为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线于两点.已知: ,,矩形自右向左在直线上平移,当点到达点时,矩形停止运动.在平移过程中,设矩形对角线与半圆的交点为 (点为半圆上远离点的交点).

（1）如图2，若与半圆相切，求的值；

（2）如图3，当与半圆有两个交点时，求线段的取值范围；

（3）若线段的长为20，直接写出此时的值.

      

Answer

（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）如图2，连接OP，则DF与半圆相切，利用△OPD≌△FCD（AAS），可得：OD=DF=30；

（2）利用，求出，则；DF与半圆相切，由（1）知：PD=CD=18，即可求解；

（3）设PG=GH=m，则： ，求出，利用，即可求解.

（1）如图，连接

∵与半圆相切，∴，∴，

在矩形中，，

∵，根据勾股定理，得

在和中，

∴

∴

（2）如图，

当点与点重合时，

过点作与点，则

∵

且，由（1）知：

∴，∴，

∴

当与半圆相切时，由（1）知：，

∴

（3）设半圆与矩形对角线交于点P、H，过点O作OG⊥DF，

则PG=GH，

，则，

设：PG=GH=m，则：，

，

整理得：25m2-640m+1216=0，

解得：，

.