Question

已知，直线AB∥CD.

(1)如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，那么第(2)问中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明.

Answer

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BED=2∠BFD；（3）2∠BFD+∠BED=360°．

【解析】

(1)首先过点E作EF∥AB,易证得∠1=∠ABE, ∠2=∠CDE,则可得.
(2)首先连接FE并延长,易得,又由BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE,以及(1)的结论,易证得∠BED=2∠BED;
(3)由,以及BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE与,即可证得结论.

本题解析：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

证明：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，

∴∠BED=∠1+∠2=∠ABE+∠CDE；

（2）∠BED=2∠BFD．

证明：连接FE并延长，

∵∠BEG=∠BFE+∠EBF，∠DEG=∠DFE+∠EDF，

∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，

∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，

∴∠ABE+∠CDE=2（∠EBF+∠EDF），

∵∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠EBF+∠EDF=∠BED，

∴∠BED=∠BFD+∠BED，

∴∠BED=2∠BFD；

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），

∵∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），

∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD，

∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，

∴2∠BFD+∠BED=360°．