Question

如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．

(1)求∠P的度数；

(2)若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．

Answer

(1)∠P=60°；(2)4-π．

【解析】

(1)先证明∠P=180°-∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解决问题．

(2)连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=OA=2，则S△PAO=2，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S四边形AOBP-S扇形AOB进行计算．

【解析】
(1)连接OA、OB，

∵PA、PB是⊙O切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，

∴∠P=180°-∠AOB，

∵∠ACB=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∴∠P=180°-120°=60°，

(2)如图，连接OP，

∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=×60°=30°，

∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，

在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，

∴AP=OA=2，

∴S△PAO=×2×2=2，

∴阴影部分的面积=S四边形AOBP-S扇形AOB=2×2-=4-π．