Question

某商品的进价为每件20元，市场调查反映，若按每件30元销售，每天可销售100件；若销售单价每上涨1元，每天的销售就减少5件．

(1)设每天该商品的销售利润为y元，销售单价为x元(x≥30)，求y与x的函数解析式；

(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？

Answer

(1)y=-5x2+350x-500；(2)单价为35元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为1125元．

【解析】

①直接利用总利润=每件商品利润×每天的销售量，进而得出答案．

②将以上所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；

【解析】
(1)根据题意得，y=(x-20)[100-5(x-30)]=-5x2+350x-500；

(2)y=-5x2+350x-500=-5(x-35)2+1125．

∵-5＜0，

∴函数图象开口向下，y有最大值，

当x=35时，ymax=1125，

故当单价为35元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为1125元．