Question

对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值，在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．

(1)判断函数y=有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度．

(2)函数y=3x²-bx．

①若其不变长度为零，求b的值；

②若2≤b≤5，求其不变长度q的取值范围．

Answer

(1)不变长度为4；(2)①b=-1；②1≤q≤2．

【解析】

(1)有．由题意得：x=x2，解得：x=0或x=4；当x=0时，y=0，当x=4时，y=4，即可求解；

(2)由题意得：x=3x2-bx，解得：x=0或x=，①即：x=0或x=时，其y值相等，即：0=，故：b=-1；②当b=2时，x=0或x=1，则：不变长度q=1-0=1，当b=5时，x=0或x=2，则q=2，即可求解．

【解析】
(1)有．由题意得：x=x2，解得：x=0或x=4；

当x=0时，y=0，当x=4时，y=4，

故：不变，长度为：4-0=4；

(2)由题意得：x=3x2-bx，解得：x=0或x=，

①即：x=0或x=时，其y值相等，即：0=，

故：b=-1；

②当b=2时，x=0或x=1，

则：不变长度q=1-0=1，

当b=5时，x=0或x=2，则q=2，

故：1≤q≤2．