Question

已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上．

(1)如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．

(2)在(1)的条件下，若BC边交l于点E，OE=2，求BE的长．

(3)如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O 的切线，F为切点，则CF的长为____．

Answer

(1)CD=6；(2)BE=5-2；(3)4.

【解析】

(1)由圆周角定理可得AD是直径，根据勾股定理可求CD的长；

(2)过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得CF=DF=3，根据中位线定理可得OF=4，根据勾股定理可求EF的长，即可求BE的长；

(3)连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，可证四边形OECF是矩形，可得CF=OE，FO=CE=5，由勾股定理可求AE的长，即可求CF的长．

【解析】
(1)如图：连接AD

∵∠ACB=90°，

∴AD是直径

∴AD=10

在Rt△ACD中，CD=6

(2)如图：过点O作OF⊥CD，垂足为F

∵OF⊥CD

∴CF=DF=3，且AO=DO

∴OF=AC=4

在Rt△OFE中，EF=

∵BE=BC-CF-EF

∴BE=8-3-

(3)如图：连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，

∵BC是⊙O 的切线

∴OF⊥BC，

∴∠BFO=∠ACB=90°，OE⊥CE，

∴四边形OECF是矩形

∴CF=OE，FO=CE=5，

∴AE=AC-CE=3

在Rt△AEO中，OE==4，

∴CF=4

故答案为：4