Question

在平面直角坐标系xOy中，点P(2，-2)在二次函数y=x²+mx+n(m＞0)的图象上．

(1)若m-n=3，求m、n的值．

(2)若该二次函数的图象与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，则OA=OB成立吗？请说明理由．

(3)若该二次函数图象向左平移k个单位，再向上平移4m个单位，所得函数图象仍经过点P，当k≥-2时，求所得函数图象的顶点纵坐标的取值范围．

Answer

(1)m=-1，n=-4；(2)不成立；(3)2＜-(m+4)2+2＜1.

【解析】

(1)把点P(2，-2)代入y=x2+mx+n，得2m+n=-6，结合m-n=3即可求解；

(2)由OA=OB，得m=±2n，结合(1)中2m+n=-6，求解m 的值；

(3)平移后的函数解析式为y=(x+k)2+m(x+k)-2m-2，P(2，-2)在图象上，得到k(k+4+2m)=0分k=0和k≠0讨论得到0＜m＜-2，函数顶点纵坐标为 (m+4)2+2，结合m的取值范围确定纵坐标取值范围；

【解析】
(1)把点P(2，-2)代入y=x2+mx+n得，

-2=4+2m+n，2m+n=-6

当m-n=3时，解得：m=-1，n=-4；

(2)令x=0，则y=n，∴A(0，n)，∴OA=±n，

函数的对称轴为x=-m，OB=，

OA=OB，则：m=±2n，

∵2m+n=-6，

∴当m=2n时，m=-(舍去)；

当m=-2n时，m=-4(舍去)

故不成立；

(3)平移后的函数解析式为y=(x+k)2+m(x+k)+n+4

=(x+k)2+m(x+k)-6-2m+4

=(x+k)2+m(x+k)-2m-2，

∵P(2，-2)在图象上，

∴k(k+4+2m)=0

当k=0时，m=-2(舍去)；

当k≠0时，k=-4-2m，

∵k≥-2，

∴m＜-2，

∴0＜m＜-2，

∵函数顶点纵坐标为=-(m+4)2+2，

∴-2＜-(m+4)2+2＜1.