Question

如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP=30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（    ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

Answer

A

【解析】

连接PC，可证得△ABP≌△CBP，结合矩形的性质，可证得PA＝EF，国判断①；延长AP交BC于点G，可证得AP⊥EF，可判断②；求得AP的最小值即可求得EF的最短长度，可判断③；当点P在点B或点D时，AP有最大值2，则可判断④；可求得答案．

【解析】

①如图，连接PC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴PC＝EF，

∴AP＝EF，故①正确；

②延长AP交BC于点G，

由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，

∵PE∥AB，

∴∠EPG＝∠BAP，

∴∠EPG＝∠PFE，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，

∴AP⊥EF，故②正确；

③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，

由①可知EF＝AP，

∴EF的最短长度为，故③正确；

④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，

∴EF＝AP≤2，

∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，

即EF的长度不可能为2，故④不正确；

综上可知正确的结论为①②③，

故选：A．