Question

如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限．过点A做AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5．

（1）求该正比例函数的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=-x;(2)见解析.

【解析】

（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；

（2）利用三角形的面积公式求得OP=4，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．

（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5，∴OH×AH÷2=4.5，∴3×AH÷2=4.5，∴AH=3，∴点A的纵坐标为-3，点A的坐标为（3，-3）．

∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=-3，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式是y=－x；

（2）设OP=x．

∵△AOP的面积为6，点A的坐标为（3，-3），∴，∴OP=4，∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．