Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分∠ABC交AC于点F，交AD于点E，且∠DBF=15°，求证：（1）AO=AE;   (2)∠FEO的度数.

Answer

见解析

【解析】试题（1）根据矩形的得出OB=OA，∠ABC=∠BAD=90°，求出∠EBA=45°，可得AB=AE；求出∠OBA=60°，得出等边△OBA，推出BA=OA，从而AO=AE；

（2）由△OBA是等边三角形得∠BAO=60°，从而∠OAE=30°，然后根据等腰三角形的性质可求出∠AEO的度数，进而可求出∠FEO的度数.

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OA，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=45°，

∵∠OBF=15°，

∴∠OBA=60°，

∵OB=OA，

∴△BOA是等边三角形，

∴∠OAB=60°，BA=OA，

∴∠OEF=∠BEA=180°-∠OAB-∠EBA=180°-45°-60°=75°，

∵∠BAF=90°，∠FBA=45°，

∴∠FBA=45°=∠BFA，

∴BA=AE，

∴AO=AE；

（2）∵∠BAD=90°，∠OAB=60°，

∴∠OAF=90°-60°=30°，

∴∠AEO=×（180°-30°）=75°，

∴∠AOF=∠OEF=75°，

∴∠FEO=75°-45°=30°．