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已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别...

已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CBDC(或它们的延长线)于点MN.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN(如图1),易证BM+DN=MN

(1)∠MAN绕点A旋转到BM≠DN(如图2),线段BMDNMN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.

(2)∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BMDNMN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

 

(1)BM+DN=MN成立.(2)DN-BM=MN. 【解析】试题(1)、在MB的延长线上,截得BE=DN,连接AE得到△ABE≌△AND,从而得到AE=AN,然后证明△AEM≌△ANM,得到ME=MN,从而得出答案;(2)、在DC上截取DF=BM,连接AF得到△ABM≌△ADF,然后证明△MAN≌△FAN,得到所求的答案. 试题解析:(1)、BM+DN=MN成立. 如下图1,在MB的延长线上,截得BE=DN,连接AE,易证:△ABE≌△AND,∴AE=AN. ∴∠EAB=∠NMD.∴∠BAD=90°,∠NAM=45° ∴∠BAM+∠NMD=45°.∴∠EAB+∠BAM=45°.∴∠EAM=∠NAM又AM为公共边,∴△AEM≌△ANM, ∴ME=MN,∴ME=BE+BM=DN+BM.∴DN+BM=MN. (2)、DN-BM=MN. 如图2,在DC上截取DF=BM,连接AF.∵AB=AD,∠ABM=∠ADF=90°,∴△ABM≌△ADF(SAS) ∴AM=AF,∠MAB=∠FAD.∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°,即∠MAF=∠BAD=90°. 又∠MAN=45°,∴∠NAF=∠MAN=45°.∵AN=AN,∴△MAN≌△FAN.∴MN=FN,即MN=DN-DF=DN-BM;
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求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题,中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术,术曰:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少成多,更相减损,求其等也.以等数约之,意思是说,要求两个正整数的最大公约数,先用较大的数减去较小的数,得到差,然后用减数与差中的较大数减去较小数,以此类推,当减数与差相等时,此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数.

例如:求9156的最大公约数

【解析】
91—56=35

56—35=21

35—21=14

21—14=7

14—7=7

所以,9156的最大公约数是7

请用以上方法解决下列问题:

1)求10845的最大公约数;

2)求三个数78104143的最大公约数.

 

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先化简在求值: ,其中

 

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