Question

如图，在中， 是斜边上两点，且将绕点顺时针旋转90°后，得到连接

（1）求证： △AED≌△AEF                        

(2）猜想线段BE,ED,DC之间的关系，并证明

Answer

（1）见解析 （2），证明见解析

【解析】

（1）由旋转的性质可得：AD=AF，∠BAC=∠FAD=90°，由可得∠FAE=,所以,又AE=AE，故可证△AED≌△AEF

（2）由旋转的性质可得：BF=CD，∠ACB=∠ABF，可证∠FBE=90°,由（1）可得：EF=ED,根据勾股定理可得：,故可得

∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
∵在△AED与△AEF中，

∴△AED≌△AEF（SAS）
（2）∵△AED≌△AEF，
∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴BE2+BF2=FE2，即BE2+DC2=DE2