Question

如图所示，

(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；

(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；

(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．

Answer

（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α

【解析】

（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；

（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF＝90°，所以DF⊥BE；

（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF＝180°，所以DF与BE的夹角β＝180°﹣α．

（1）DF与BE互相垂直且相等．

证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中

AD＝AB，AF＝AE，

∠BAD＝∠EAF＝90°

∴∠FAD＝∠EAB

∴△FAD≌△EAB

∴∠AFD＝∠AEB，DF＝BE

∵∠AFD+∠AFG＝180°，

∴∠AEG+∠AFG＝180°，

∵∠EAF＝90°，

∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，

∴DF⊥BE

（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．

延长DF交EB于点H，

∵AD＝kAB，AF＝kAE

∴，

∴

∵∠BAD＝∠EAF＝a

∴∠FAD＝∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF＝kBE

∵△FAD∽△EAB，

∴∠AFD＝∠AEB，

∵∠AFD+∠AFH＝180°，

∴∠AEH+∠AFH＝180°，

∵∠EAF＝90°，

∴∠EHF＝180°﹣90°＝90°，

∴DF⊥BE

（3）不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a．

延长DF交EB的延长线于点H，

∵AD＝kAB，AF＝kAE

∴，

∴

∵∠BAD＝∠EAF＝a

∴∠FAD＝∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF＝kBE

由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB

∵∠AFD+∠AFH＝180°

∴∠AEB+∠AFH＝180°

∵四边形AEHF的内角和为360°，

∴∠EAF+∠EHF＝180°

∵∠EAF＝α，∠EHF＝β

∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a