Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，=，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）直线ED与⊙O相切．理由见解析．（3）．

【解析】

试题（1）利用圆周角定理的推论证出∠ACD=∠DCE即可；（2）直线ED与⊙O相切，连结OD，根据条件证明OD⊥DE即可；（3）作OH⊥BC于H，利用直角三角形的性质可得出∠COD=60°，然后根据阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD计算即可．

试题解析：（1）证明：∵，

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠DCE=∠BAD，

∴∠ACD=∠DCE，

即CD平分∠ACE；

（2）【解析】
直线ED与⊙O相切．理由如下：

连结OD，如图，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

而∠OCD=∠DCE，

∴∠DCE=∠ODC，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（3）【解析】
作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，

∴OD=EH，

∵CE=1，AC=4，

∴OC=OD=2，

∴CH=HE-CE=2-1=1，

在Rt△OHC中，∠HOC=30°，

∴∠COD=60°，

∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD

==．