Question

如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且BC是⊙O的切线，

（1）求证：CE=CB；

（2）连接AF，BF，求tan∠ABF；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）∠ABF的正弦值是；（3）⊙O的半径是．

【解析】

（1）连接OB，由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=∠CBE，即可证明CE=CB；

（2）连接OF，AF，BF，可证△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理可得∠ABF=30°，即可得出结论；

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可得EG=BE=5，再由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理即可得出结论.

（1）证明：连接OB，如图，

∵OA=OB，

∴∠DAE=∠OBA，

∵BC切⊙O于B，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBE=90°，

∵DC⊥OA，

∴∠ADE=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠CBE=∠CEB，

∴CE=CB；

（2）【解析】
连接OF，AF，BF，如图，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°，

∴∠ABF=∠AOF=30°，

即∠ABF的正弦值是；

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，如图

∴EG=BE=5，
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴，
∴，
又∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴，
∴，∴⊙O的半径为．