Question

如图，在▱ABCD中，AB=20cm，AD=30cm，∠ABC=60°，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，过点P做PM⊥AD交AD于点M，连接PQ、QM．设运动的时间为ts（0＜t≤6）．

（1）当PQ⊥PM时，求t的值；

（2）设△PQM的面积为y（cm²），求y与x之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得△PQM的面积是▱ABCD面积的？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由；

（4）过点M作MN∥AB交BC于点N，是否存在某一时刻t，使得P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由；

Answer

（1）t=4；（2）y=-（0＜t≤6）；（3）存在，t=6时，△PQM的面积是▱ABCD面积的；（4）存在， t=s时，使得P在线段MN的垂直平分线上．

【解析】

（1）证明四边形AQPD是平行四边形，根据平行四边形性质得到AQ=PD，列出方程即可解决问题；

（2）在 Rt△PMD中，根据∠PMD=90°，∠D=60°，PD=3t，先求得PM= t，然后作BG⊥DA交DA的延长线于G，过点Q作QK⊥PM于K，交BG于H，则四边形GHKM是矩形，通过推导得了QK=40-t，然后根据三角形的面积公式可得y=PM·QK=-（0＜t≤6）；

（3）过A作AI⊥BC于I，先求出S四边形ABCD= 300，再由△PQM的面积是▱ABCD面积的，列出关于t的方程求解即可得；

（4）存在，通过证明CN=PC，再根据PC+PD=CD列出方程即可解决问题.

（1）∵PM⊥AD，PQ⊥PM，

∴PQ∥AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴四边形AQPD是平行四边形，

∴AQ=PD，

∴20﹣2t=3t，

∴t=4；

（2）在 Rt△PMD中，∵∠PMD=90°，∠D=60°，PD=3t，∴∠MPD=30°，

∴DM=PD=t，∴PM=PD·sin60°=t，

如图，作BG⊥DA交DA的延长线于G，过点Q作QK⊥PM于K，交BG于H，则四边形GHKM是矩形，

在Rt△ABG中，∵∠G=90°，∠ABG=30°，AB=20，∴AG=AB=10，

在Rt△BHQ中，∵∠BHQ=90°，∠HBQ=30°，BQ=2t，∴HQ=BQ=t，

∴QK=10+30-t-t=40-t，

∴y=PM·QK==-（0＜t≤6）；

（3）如图，

过A作AI⊥BC于I，在Rt△ABI中，AI=AB•sin60°=20×=10，

∴S四边形ABCD=BC•AI=30×10=300

∵△PQM的面积是▱ABCD面积的，

∴-=×300，

∴t1=6，t2=10（不符合题意，舍去），

存在某一时刻t，t=6时，使得△PQM的面积是▱ABCD面积的；

（4）存在，理由：如图中，

∵PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∵AB∥MN，AM∥BN，

∴四边形ABNM是平行四边形，

∴∠AMN=∠MNC=∠B=60°，

∵∠PMD=90°，∠NMD=120°，

∴∠PMN=∠PNM=∠PNC=30°，

∵∠C=120°，

∴∠CPN=30°=∠PNC，

∴NC=PC=DM=t，

∴PC+DP=20，

∴t+3t=20，

∴t=，

∴t=s时，使得P在线段MN的垂直平分线上．