Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作．

（1）已知点，

①直接写出的值；

②直线与x轴交于点F，当取最小值时，求k的取值范围；

（2）的圆心为 ，半径为1．若，直接写出t的取值范围．

Answer

（1）①5．②见解析；（2）．

【解析】

(1) ①根据题意 是指点 到正方形上动点的最大距离，所以当点与点重合时，此时最大为；

②根据的最小值是，可知，所以当直线经过和,即可求出的值；

（2）根据圆心 ，半径为 ，可知圆在直线的直线上动，因为圆上动点到正方形边上动点的最大值，所以可以转化成 圆的半径圆心到正方形边上动点，因为，可以算出的分界点，由于圆心到点Q的最大值存在一种情况时，可以计算出，刚好，即可求出符合题意 的取值范围.

【解析】
1.①由根据题意 是指点 到正方形上动点的最大距离，所以当点与点重合时，此时最大，即

②如图所示：

∵ ．

当点的横坐标在 时，,

当点的横坐标在时， ,

∵要取最小值，

∴

∴符合题意的点F满足

∴当直线经过点的坐标为和点的坐标为是分别求得 ．

∴ 或 ．

结合函数图象可得或．

（2）由题意可知：

时

可计算当时，

当圆心在轴左侧时

可以考虑到当时，

利用两点之间的距离公式：

即

求得：，

当时，，即

当圆心在轴右侧时

可以考虑到当时，

利用两点之间的距离公式：

即

求得：，

当时，，即