Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③连接EF，△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S_{四边形AFPE}＝S_△APC，其中正确的有几个（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer

C

【解析】

①②③连接AP，证明△AEP≌△CFP（ASA）即可判断；EF不是中位线，所以EF≠AP；证明△AFP≌△BEP（SAS），S四边形AFPE＝S△BPE+S△CPF，即可判断⑤；

①如图1：连接AP，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，

∴AP＝CP，∠BAP＝∠C＝45°，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPA+∠APF＝90°，∠APF+∠CPF＝90°，

∴∠APE＝∠CPF，

∴△AEP≌△CFP（ASA），

∴AE＝CF；

∴①②正确；

③由△AEP≌△CFP（ASA），

∴EP＝PF，

∴△EPF是等腰直角三角形，

∴③正确；

④∵EF不是中位线，

∴EF≠AP；

故①②③正确；

⑤∵AE＝CP，AP＝BP，∠B＝∠FAP＝45°，

∴△AFP≌△BEP（SAS），

∴S四边形AFPE＝S△BPE+S△CPF=S△CPA，

⑤正确；

故选：C．