Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连接OB，求S_△AOC﹣S_△BOC的值；

（3）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形请直接写出满足条件的E点的个数（写出个数即可，不必求出E点坐标）．

Answer

（1）y＝﹣，y＝﹣x+2；（2）S△AOC﹣S△BOC＝4；（3）满足条件的点P有四个．

【解析】

（1）先根据锐角三角函数求出OD，求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，即可得出结论；

（2）先求出点C坐标，进而用三角形的面积公式求解即可得出结论；

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．

（1）∵AD⊥x轴，

∴∠ADO＝90°，

在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝，

∴OD＝2，

∴A（﹣2，3），

∵点A在反比例函数y＝的图象上，

∴n＝﹣2×3＝﹣6，

∴反比例函数的解析式为y＝﹣，

∵点B（m，﹣1）在反比例函数y＝﹣的图象上，

∴﹣m＝﹣6，

∴m＝6，

∴B（6，﹣1），

将点A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入直线y＝kx+b中，得 ，

∴ ，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；

（2）由（1）知，A（﹣2，3），直线AB的解析式为y＝﹣x+2，

令y＝0，

∴﹣x+2＝0，

∴x＝4，

∴C（4，0），

∴S△AOC﹣S△BOC＝OC•|yA|﹣OC•|yB|＝×4（3﹣1）＝4；

（3）设E（m，0），由（1）知，A（﹣2，3），

∴OA2＝13，OE2＝m2，AE2＝（m+2）2+9，

∵△AOE是等腰三角形，

∴①当OA＝OE时，

∴13＝m2，

∴m＝±，

∴E（﹣，0）或（，0），

②当OA＝AE时，13＝（m+2）2+9，

∴m＝0（舍）或m＝4，

∴E（4，0），

③当OE＝AE时，m2＝（m+2）2+9，

∴m＝﹣，

∴E（﹣，0），

即：满足条件的点P有四个．