Question

如图①．抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C三点．

（1）求a和b的值；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD、CD，在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC，请求出点P的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B'O'C'在平移过程中，△B'O'C'与△BCD重叠部分的面积记为S，设平移的时问为t秒，请直接写出S与t之间的函数关系式（并注明自变量的取值范围）．

Answer

（1）a＝﹣1，b＝2；（2）存在，P（﹣，）；（3）．

【解析】

（1）将点A、B代入解析式即可求出a、b的值．

（2）根据已知条件求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出点G的坐标，求出直线BP的解析式，联立二次函数解析式，求出点P的坐标．

（3）分两种情况，第一种情况重叠面积为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形的面积公式求得．

（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线，

，

解得a＝﹣1，b＝2．

（2）存在，

将点D代入抛物线的解析式得：m＝3，

∴D（2，3），

令x＝0，y＝3，

∴C（0，3），

∴OC＝OB，

∴∠OCB＝∠CBO＝45°，

如图1所示，

∵CD∥x轴，

∴∠DCB＝∠BCO＝45°，

在△CDB和△CGB中，

∴△CDB≌△CGB（ASA），

∴CG＝GD＝2，

∴OG＝1，

∴G（0，1），

设直线BP：y＝kx+1，

代入点B，

∴k＝﹣ ，

∴直线BP：y＝﹣x+1，

联立直线BP和二次函数解析式，

解得 或 （舍），

∴P．

（3）直线BC：y＝﹣x+3，直线BD：y＝﹣3x+9，

当0≤t≤2时，如图2所示，

设直线B′C′：y＝﹣（x﹣t）+3，

联立直线BD求得F（），

S＝．

当2＜t≤3时，如图3所示，

H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3），

S＝×（3﹣t）＝t2﹣6t+9，

综上所述：．