Question

如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示.现有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤；⑥.其中正确的结论有（    ）

A. l个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

C

【解析】

由抛物线的开口方向、对称轴及图象与y轴的交点可判断a、b、c的符号，可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；由对称轴方程可知b=-2a，可得a+b=-a，根据a的符号可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，根据x=3时函数值为0可对⑤进行判断；根据与x轴的一个交点为（3，0）及对称轴方程可得另一个交点的坐标为（-1，0），根据x=-2时，y<0可对⑥进行判断.

∵抛物线开口向下，与y轴的交点在正半轴，

∴a<0，c>0，

∵抛物线对称轴为x==1>0，

∴b>0，

∴abc<0，故①错误，

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴=b2-4ac>0，故②错误，

∵对称轴x==1，

∴b=-2a，

∴2a+b=0，

∴a+b=-a>0，故③正确，

∵对称轴为x=1，开口向下，

∴x>1时，y随x的增大而减小，x<1时，y随x的增大而增大，故④错误，

∵抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），

∴9a+3b+c=0，

∵b=-2a，

∴9a-6a+c=0，即3a+c=0，故⑤正确，

∵抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x=1，

∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（-1，0），

∴x=-2时，y=4a-2b+c<0，

∵a=，

∴-2b-2b+c<0，

∴c<4b，故⑥正确，

综上所述：正确的结论有③⑤⑥，共3个，

故选C.