Question

已知，如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．

【解析】

试题（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；

（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；

（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的解析式．

试题解析：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，

∴B（0，3）．

将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，

A（3，0）．

将点A和点B的坐标代入得：，

解得：b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）设M的坐标为（x，y）．

∵△ACM与△ABC的面积相等，

∴AC•|y|=AC•OB．

∴|y|=OB=3．

当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，

∴M（2，3）、（0、3）．

当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．

∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①当∠DNA=90°时，如图所示：

∵∠DNA=90°时，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

∵DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA．

∴，即，解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．