Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列四个结论中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3.正确的有（    ）

A.只有①②③ B.只有①②④ C.只有①③④ D.①②③④

Answer

D

【解析】

由基本作图可知①正确；根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1＝∠2＝30°，根据直角三角形的性质可判断②正确；根据∠1＝∠B可得AD＝BD，进而判断③正确；先根据直角三角形的性质得出AD＝2CD，求出BC＝3CD即可判断④正确．

【解析】
①由基本作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°−∠2＝60°，即∠ADC＝60°，故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵在Rt△ACD中，∠2＝30°，
∴AD＝2CD，

∵AD＝BD，

∴BD＝2CD，

∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④正确；
故选：D．