Question

某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？

Answer

（1）；（2）时，w最大；（3）时，每天的销售量为20件.

【解析】

（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；

（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；

（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．

（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，

将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：

，

解得：，

故函数的表达式为：y=-2x+160；

（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，

∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，

∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；

（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，

解得：x≤70，

∴每天的销售量y=-2x+160≥20，

∴每天的销售量最少应为20件．