Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，−3)，反比例函数(x>0)的图象经过点A，动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.

(1)求k的值；

(2)求△BMN面积的最大值；

(3)若MA⊥AB，求t的值.

Answer

（1）k=8；（2）△BMN面积最大值为；（3）.

【解析】

（1）把点A坐标代入y＝（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t−3），则MN＝−t＋3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．

（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：1＝，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
根据题意得：，
解得：k＝，b＝−3，
∴直线AB的解析式为：y＝x−3，
设M（t，），则N（t，t−3），
∴MN＝−t＋3，
∴△BMN的面积S＝（−t＋3）·t＝−t2＋t＋4＝−（t−3）2＋，
∵−＜0，
∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝−2x＋c，
把点A（8，1）代入得：1＝−2×8＋c，解得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝−2x＋17，
联立，解得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t＝．