Question

已知一次函数y=−x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

(1)求出A，C两点的坐标；

(2)在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）A(−16,0),C(0,−12)；（2）；（3）

【解析】

（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标

（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.

（3）本题可分两种情况进行求【解析】
①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.

(1)在一次函数y=−x−12中，当x=0时，y=−12；

当y=0时,x=−16,即A(−16,0),C(0,−12)

(2)过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。

则OC2=OA⋅OB,此时OB=9,可求得B(9,0)；

此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y=x2+x−12

(3)当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有：

=,即=，

解得m=.

当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有：

= ,即=，

解得m=.